第 4.2 节 编程练习#

# 1. 归一化差值
norm_diff = (a - b) / (np.abs(a) + np.abs(b))
print(norm_diff)

[ 0.09090909 -0.05882353  0.14285714  0.04347826]

# 2. 安全版（分母加极小值）
safe_diff = (a - b) / (np.abs(a) + np.abs(b) + 1e-9)
print(safe_diff)

[ 0.09090909 -0.05882353  0.14285714  0.04347826]

# 3. 差距最大的是哪一对
idx = np.abs(norm_diff).argmax()
print(idx, a[idx], b[idx])

2 200.0 150.0

要点：

• 归一化差值的范围是 -1 ~ 1：全为正是「a 比 b 大」，负数是「a 比 b 小」；
• 0.1429 的意思是：a 比 b 大了约 14%；
• 绝对值最大的是第 2 对（200 vs 150），差了约 14%。

第 3 题的 1e-9 为什么加了也没变化？ 因为 a 和 b 里没有 0，分母本来就不可能是 0。 1e-9 是「保险」——只有在出现 0/0 时才起作用，把 nan 变成 0。

zero = np.array([0.0, 5.0])
print((zero - zero) / (np.abs(zero) + np.abs(zero)))      # [nan nan]
print((zero - zero) / (np.abs(zero) + np.abs(zero) + 1e-9))  # [0. 0.]

# 1. 造点
points = np.array([
    [3.0, 4.0],
    [1.0, 0.0],
    [0.0, 2.0],
    [-1.0, -1.0],
    [5.0, 5.0],
])

# 2. 弧度角
rad = np.arctan2(points[:, 1], points[:, 0])
print(rad)

[ 0.92729522  0.          1.57079633 -2.35619449  0.78539816]

# 3. 转成角度
deg = np.degrees(rad)
print(deg)

[  53.13010235    0.           90.         -135.           45.        ]

# 4. 角度最大的点
i = deg.argmax()
print(i, points[i])

2 [0. 2.]

要点：

• points[:, 1] 是 y 坐标，points[:, 0] 是 x 坐标；
• arctan2(y, x) 的参数顺序是 (y, x)，跟数学写法一致；
• 第 3 个点 (0, 2) 得到 90°，因为它在正上方——这正是 arctan2 比 arctan(y/x) 强的地方（x = 0 不会除零）。

参数写反了不会报错，但结果全错！

print(np.degrees(np.arctan2(points[:, 0], points[:, 1])))

[  36.86989765   90.            0.         -135.           45.        ]

第一个点 (3, 4) 本该是 53.13°，写反了变成 36.87°—— 这正是 (4/3) 和 (3/4) 的区别。 这种 bug 最难查，因为代码跑得好好的。写完记得拿一个已知角度的点（比如 (1,0) 应该是 0°）验一下。

# 1. 总和
print(sales.sum())

2695.0

# 2. 每列 / 每行的合计
print(sales.sum(axis=0))
print(sales.sum(axis=1))

[610. 654. 678. 753.]
[570. 365. 835. 295. 630.]

# 3. 每列 / 每行的平均
print(sales.mean(axis=0))
print(sales.mean(axis=1))

[122.  130.8 135.6 150.6]
[142.5   91.25 208.75  73.75 157.5 ]

# 4. 每列的最大 / 最小
print(sales.max(axis=0))
print(sales.min(axis=0))

[200. 210. 195. 230.]
[60. 72. 85. 78.]

# 5. 每个城市最高的是哪个季度
best_q = sales.argmax(axis=1)
for i, q in enumerate(best_q):
    print(city_names[i], "->", quarter_names[q], sales[i, q])

北京 -> Q4 165.0
上海 -> Q4 105.0
广州 -> Q4 230.0
深圳 -> Q3 85.0
成都 -> Q4 175.0

# 6. 总和最高的城市
totals = sales.sum(axis=1)
print(city_names[totals.argmax()], totals.max())

广州 835.0

要点：

• axis=0 是「对每一列」，结果长度 = 列数（4）；
• axis=1 是「对每一行」，结果长度 = 行数（5）；
• 「值」用 max，「位置」用 argmax——两者配套使用是最常见的套路。

第 5 题的 sales[i, q] 是什么意思？ i 是行号、q 是列号，合起来就是「第 i 行第 q 列」的那个数。 「先用 argmax 拿到位置，再用位置去取值」——这个模式要练成条件反射。

# 1. 造数据
scores = np.array([80, 90, 75, 100, 60, 95])
names  = np.array(["小明", "小红", "小刚", "小美", "小李", "小张"])

# 2. 排序
print(np.sort(scores))

[ 60  75  80  90  95 100]

# 3. 排序索引
print(np.argsort(scores))

[4 2 0 1 5 3]

读法： 排好序的第 0 个数（60）原来是第 4 个；第 1 个（75）原来是第 2 个……

# 4. 名字跟着分数一起从高到低排
order = np.argsort(scores)[::-1]
print(names[order])
print(scores[order])

['小美' '小张' '小红' '小明' '小刚' '小李']
[100  95  90  80  75  60]

# 5. 第二高
print(np.sort(scores)[-2])     # 95

# 6. 最高分的人
print(names[scores.argmax()])   # 小美

要点：

• sort() 给「排好序的数」，argsort() 给「每个数的名次」；
• argsort() 的结果可以拿去索引任何同长度的数组——这就是「名字跟着分数一起排」的原理；
• [::-1] 把名次倒过来，就是「从大到小」。

第 4 题不用 [::-1] 的写法：

order = np.argsort(-scores)     # 先取负，负得最少的就是最大的
print(names[order])

['小美' '小张' '小红' '小明' '小刚' '小李']

两种写法结果一样。[::-1] 更直观，-scores 更紧凑—— 但要小心：-scores 对整数数组没问题，遇到最小值取负可能溢出，所以实际项目里 [::-1] 更安全。

# 1. 造向量
vectors = np.array([
    [3.0, 4.0],
    [1.0, 0.0],
    [6.0, 8.0],
    [0.5, 0.5],
])

# 2. 每个向量的长度
norms = np.linalg.norm(vectors, axis=1)
print(norms)

[ 5.          1.         10.          0.70710678]

# 3. 保留维度
norms_2d = np.linalg.norm(vectors, axis=1, keepdims=True)
print(norms_2d.shape)

(4, 1)

# 4. 开关
gate = norms_2d > 3
print(gate)

[[ True]
 [False]
 [ True]
 [False]]

# 5. 门控变换
result = np.where(gate, 2 * vectors - 1, vectors)
print(result)

[[ 5.   7. ]
 [ 1.   0. ]
 [11.  15. ]
 [ 0.5  0.5]]

要点：

• 第 0 行长度 5 > 3 → 做了变换：2*[3,4] - 1 = [5, 7]；
• 第 1 行长度 1 < 3 → 原样不动；
• 第 2 行长度 10 > 3 → 做了变换：2*[6,8] - 1 = [11, 15]；
• 第 3 行长度约 0.71 < 3 → 原样不动。

第 3 题的 keepdims=True 是第 5 步能广播成功的前提。

不加它，norms 的形状是 (4,)，而 vectors 是 (4, 2)： 最后一维 2 vs 4 → 两个都不是 1 → 直接报错。

norms = np.linalg.norm(vectors, axis=1)          # (4,)
gate = norms > 3                                  # (4,)
print(np.where(gate, 2 * vectors - 1, vectors))    # ValueError!

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,) (4,2)

加了 keepdims=True 之后，范数变成 (4, 1)——「4 行 1 列」， 正好跟 (4, 2) 的「4 行 2 列」行数对齐，广播就成了。

记住这个万能钥匙：凡是要拿「按行算出来的结果」去跟原数组广播，就加 keepdims=True。